Uitni Klavin, Kaliforniya Texnologiya İnstitutu tərəfindən

Robert Egan tərəfindən redaktə edilib , Andrew Zinin tərəfindən nəzərdən keçirilib

 Redaktorların qeydləri

 GIST

Tercih edilən mənbə kimi əlavə edin

Kredit: Kaliforniya Texnologiya İnstitutu

Hazırda havadakı molekullar ətrafınızda xaotik və gözlənilməz şəkildə hərəkət edir. Bu cür sistemləri anlamaq üçün fiziklər Boltzman paylanması kimi tanınan bir qanundan istifadə edirlər ki, bu qanun hər bir hissəciyin harada olduğunu dəqiq təsvir etmək əvəzinə, sistemin mümkün vəziyyətlərindən hər hansı birində tapılma ehtimalını təsvir edir. Bu, onlara fərdi hissəcik hərəkətləri təsadüfi olsa belə, bütün sistem haqqında proqnozlar verməyə imkan verir. Bu, tək bir qəlibin diyirlənməsi kimidir: İstənilən diyirlənmə gözlənilməzdir, amma onu təkrar-təkrar diyirləsəniz, ehtimallar nümunəsi ortaya çıxacaq.

19-cu əsrin ikinci yarısında Avstriyalı fizik və riyaziyyatçı Lüdviq Boltzmann tərəfindən hazırlanmış bu Boltzman paylanması bu gün süni intellektdən iqtisadiyyata qədər bir çox sahədə sistemləri modelləşdirmək üçün geniş istifadə olunur və burada buna “çoxhədli loqitə” deyilir.

İndi iqtisadçılar bu universal qanuna daha dərindən nəzər salıblar və təəccüblü bir nəticəyə gəliblər: Riyazi sübutları göstərir ki, Boltzman paylanması əlaqəsiz və ya bir-biri ilə əlaqəsiz sistemləri dəqiq təsvir edən yeganə qanundur.

“Mathematische Annalen” jurnalında dərc olunmuş tədqiqat , hər ikisinin fizika sahəsində təcrübəsi olan iki iqtisadçı və riyaziyyatçıdan – Caltech-də iqtisadiyyat və riyaziyyat professoru Ömər Tamuzdan və hazırda Prinston Universitetində iqtisadiyyat üzrə dosent vəzifəsində çalışan keçmiş Caltech postdoktoru Fedor Sandomirskiydən gəlib.

Tamuz deyir ki, “Bu, mücərrəd riyazi təfəkkürün müxtəlif sahələri necə birləşdirə biləcəyinə dair bir nümunədir – bu halda, iqtisadi nəzəriyyədən fizikaya qədər ideyaları birləşdirir”. “Caltech-in fənlərarası mühiti bu kimi kəşfləri təşviq edir.”

Bir alimin niyə əlaqəsiz sistemlərlə maraqlandığını anlamaq üçün insanların iki dənli bitki markası arasında necə seçim etdiyini araşdıran bir iqtisadçını nəzərdən keçirin. Bu davranışı təsvir etmək üçün bir nəzəriyyə hazırlayarkən, elm adamları sadə modellərinin mənasız əlaqələr yaratmadığından əmin olmalıdırlar. Məsələn, model bir insanın dənli bitki markasına olan üstünlüklərinin həmin gün hansı qabyuyan maşın aldığından və ya mağazaya hansı rəngdə köynək geyindiyindən asılı olduğunu proqnozlaşdırsaydı, elm adamları modeldə bir şeyin səhv olduğunu bilərdilər.

Tamuz deyir ki, “Biz alıcının başqa bir dəhlizdən hansı sabunu seçdiyi kimi, lazımsız görünən əlavə seçimləri izləməməyi üstün tuturuq. Biz sual veririk: Görünür əlaqəsiz görünən bu seçimi daxil etmək modelin proqnozunu nə vaxt dəyişməz saxlayacaq?”

Boltzman paylanması bu cür əlaqəsiz sistemləri dəqiq təsvir etsə də, Tamuz və Sandomirskiy düşünürdülər: Eyni şeyi edə biləcək alternativ nəzəriyyələr varmı?

“Hamı eyni nəzəriyyədən istifadə edir”, Tamuz dedi. “Bəs əlaqəsiz davranışlar arasında əlaqənin olmamasını düzgün şəkildə qoruyan bu gözəl xüsusiyyətə başqa hansı nəzəriyyələr malikdir? Bunun əvəzinə bu nəzəriyyələrdən istifadə etməliyikmi? Əgər belə nəzəriyyələr varsa, onlar həm iqtisadiyyatda, həm də fizikada faydalı ola bilər. Əgər yoxdursa, onda Boltzman paylanmasının mənasız olmayan yeganə fiziki nəzəriyyə olduğunu və çoxnomial loqitin əlaqəsiz vəziyyətlərdə müstəqil seçimləri proqnozlaşdıran yeganə iqtisadi model olduğunu öyrənərdik.”Ömər Tamuz və onun “dəli” zarları. Müəllif: Caltech/Whitney Clavin

Zərbənin bir hissəsi

Əlaqəsi olmayan sistemlər üçün işləyə biləcək digər mümkün nəzəriyyələri tapmaq üçün iqtisadçılar əsas riyazi hesablamaları sınaqdan keçirmək üçün yeni yollar hazırladılar. Tamuz problemi necə həll etdiklərini izah etmək üçün zarlardan istifadə etməyi sevir. Hər bir zar təsadüfi olur – 1, 2, 3, 4, 5 və ya 6 ala bilərsiniz – və fərdi bir insanın və ya fiziki sistemin davranışı kimi düşünülə bilər. Əgər zarı dəfələrlə zar etsəniz, bir qanunauyğunluğun ortaya çıxdığını görməyə başlayacaqsınız – hər bir nəticə, 1-dən 6-ya qədər rəqəmlər, vaxtın təxminən altıda birində baş verəcək. Bu, tək zarın paylanmasıdır.

Əgər iki zar atsanız və zarların cəmini qeyd etsəniz, fərqli bir paylanma alacaqsınız. Məsələn, cəmi 2 almaq şansı 1/36-dır, çünki 2 atmağın yalnız bir yolu var (1 və 1). Lakin 8 atma şansı 5/36-dır, çünki 8 atmağın beş yolu var (4 və 4, 3 və 5, 5 və 3, 2 və 6, və 6 və 2).

Əhəmiyyətli olan odur ki, bir zarın nəticəsi digərinin nəticəsi haqqında heç bir məlumat ehtiva etmir, çünki bunlar bir-biri ilə əlaqəsiz iki fiziki sistemdir. İqtisadiyyat nümunəsinə qayıdaraq, bir zar dənli bitkilərin seçimi, digəri isə qab yuyan mayenin seçimi kimidir. Təsadüfi seçimlər bir-birinə təsir etməməlidir.

Tədqiqatçıların Boltzman paylanmasına alternativ nəzəriyyələri necə sınaqdan keçirdiyini başa düşmək üçün, 1977-ci ildə tapmaca yaradıcısı və riyaziyyat həvəskarı polkovnik Corc Siçerman tərəfindən icad edilən Siçerman zarları kimi “dəli” bir cüt zar təqdim etməliyik.1977-ci ildə tapmaca yaradıcısı və riyaziyyat həvəskarı polkovnik Corc Siçerman tərəfindən icad edilən bir cüt “dəli” və ya Siçerman zarları. Müəllif: Caltech/Whitney Clavin

Tamuz (əslində masasında bir cüt Sicherman zarı saxlayır) izah edir ki, bu altıüzlü zarlardakı rəqəmlər qəribədir, cütlükdəki bir zarda 1, 3, 4, 5, 6, 8, digərində isə 1, 2, 2, 3, 3 və 4 rəqəmləri var.

Hər bir zar adi zardan çox fərqli olsa da, hər ikisini atıb yalnız ümumi dəyəri qeyd etsəniz, onları adi zarlardan ayırd edə bilməyəcəksiniz. Adi zarlarda olduğu kimi, Sicherman zarları ilə 2 cəminin atılma ehtimalı 1/36, 8-in alınma ehtimalı isə 5/36-dır. Başqa sözlə, hər bir zar növünün cəminin ehtimal paylanması eynidir.

Gündəlik məlumat üçün Phys.org-a etibar edən 100.000-dən çox abunəçi ilə elm, texnologiya və kosmosdakı ən son yenilikləri kəşf edin . Pulsuz bülletenimizə abunə olun və vacib olan nailiyyətlər, innovasiyalar və tədqiqatlar haqqında gündəlik və ya həftəlik yeniliklərdən xəbərdar olun .

Tamuz və Sandomirskiy bu Sicherman zarlarının əsasında duran riyazi hesablamalardan alternativ nəzəriyyələri sınaqdan keçirə biləcəklərini anladılar. Əgər bir nəzəriyyə normal və dəli zarların cəmlərin eyni ehtimal paylanmasına malik olmasına gətirib çıxarırdısa, bu, əlaqəsiz sistemləri dəqiq təsvir etmək üçün testdən keçmişdir. Əgər normal və dəli zarların cəmlərin fərqli ehtimal paylanması varsa (bu, sabun seçimlərinin taxıl seçimlərinə təsir etdiyinin mənasız nümunəsini nümayiş etdirmək kimidir), nəzəriyyə uğursuz oldu.

Əlavə alternativ nəzəriyyələri sınaqdan keçirməyin hiyləsi, Sicherman zarlarından başqa daha çox dəli zar nümunəsi tapmaq idi. Kəşf etdikləri hər əlavə nümunə daha çox nəzəriyyəni sınaqdan keçirmək üçün istifadə edilə bilər. Sonsuz sayda mümkün nəzəriyyə var idi və onlar sonsuz sayda nəzəri dəli zar cütü ilə uyğunlaşdıra bildilər. Sonda onlar bütün alternativ nəzəriyyələri istisna edən və bir əsrdən çoxdur elmdə səylə istifadə edilən sınaqdan keçirilmiş və doğru Boltzman paylanmasının yeganə işləyən olduğunu göstərən riyazi sübut hazırladılar.

Riyazi baxımdan, tədqiqat polinomlara, cəbr dərslərindən tanış ola biləcək f(x)=x + 3x ² + x ³ kimi funksiyalara qayıdır .

Yuxarıda müzakirə edilən bütün paylanmalar, istər Boltzman, istərsə də alternativ nəzəriyyələr olsun, polinomlarla təmsil oluna bilər. Məsələn, tərəfləri 1, 3, 4, 5, 6, 8 olan ilk Sicherman zolağı f(x) = x ¹ + x ³ + x ⁴ + x ⁵ + x ⁶ + x ⁸ ilə təmsil olunur .

Tərəfləri 1, 2, 2, 3, 3, 4 olan ikinci Sicherman zarı g(x) = x ¹ + 2x ² + 2x ³ + x ⁴ ilə təmsil olunur .

Bu polinomların hasili, f(x) · g(x), cəmlərin paylanmasını təmsil edən başqa bir polinomdur. Bu, hər biri h(x) = x ¹ + x ² + x ³ + x ⁴ + x ⁵ + x ⁶ ilə təmsil olunan iki adi zarın cəmlərinin paylanması ilə eynidir. Beləliklə, h(x) və h(x) -nin hasili f(x) və g(x) -nin hasili ilə eynidir .

Bu riyazi düstur əlaqəsiz sistemlərin müstəqilliyini təmsil edir. Tədqiqatçıların son riyazi sübutu bu cür polinomlara yeni anlayışlar tələb edirdi.

Sandomirskiy deyir: “Buna başlayanda nə gözləyəcəyimizi bilmirdik. Bu paradoksal proqnozlar bizi maraqlandırdı və bir nəzəriyyənin heç birinin olmamasının nə demək olduğunu düşündük. Sonda öyrəndik ki, bu, Boltzmanın nəzəriyyəsi olmalıdır. Bir əsrdən çoxdur ki, dərsliklərdə əsas yer tutan bir anlayışa yeni bir baxış bucağı tapdıq.”

Tədqiqat “Boltzman paylanmasının mənşəyi haqqında” adlanır.

Daha çox məlumat

Fedor Sandomirskiy və digərləri, Boltzman paylanmasının mənşəyi haqqında, Mathematische Annalen (2025). DOI: 10.1007/s00208-025-03263-x

Kaliforniya Texnologiya İnstitutu tərəfindən təmin edilir