Susanna Heikkila tərəfindən həll edilən riyazi məsələ, dördölçülü Evklid həndəsəsini deformasiya etməklə hansı dördölçülü formaların əldə oluna biləcəyini soruşan kvazregular elliptik 4-manifoldların təsnifatı ilə bağlıdır. Heikkila və Pekka Pankkanın məqaləsi Annals of Mathematics jurnalında dərc olunub .

1981-ci ildə rus-fransız riyaziyyatçısı, Abel mükafatı laureatı Mişa Qromov sual verdi ki, əgər hədəf sadəcə əlaqəlidirsə, kvazregular xəritəçəkmənin mövcudluğuna zəmanət verilirmi, yəni onun fundamental qrupu əhəmiyyətsizdir və maneə yaratmır. Prywes dörd ölçülü əks nümunə təqdim edənə qədər sual 2019-cu ilə qədər açıq qaldı.

“Doktorluq dissertasiyamın əsas nəticəsi Qromovun sualının cavabını tamamlayır, çünki nəticə Evklid fəzasından kvaziregular xəritəçəkmə olan qapalı, sadəcə birləşdirilmiş dördölçülü manifoldları təsnif etmək üçün istifadə edilə bilər” dedi doktorluqdan sonrakı tədqiqatçı Susanna Heikkilä.

Hobbiləri arasında toxuculuq olan Heikkilä də məsələni trikotaj parça vasitəsilə göstərir. Toxuculuq onun ictimai müayinəsi üçün tamamlandı, burada o, tədqiqatını sadə insanların dili ilə təsvir etmək istədi.

Əl işi müstəvidən İsgəndər xəritəsi kimi tanınan sferanın xəritəsini təsvir edir. Heikkilä müxtəlif rəngli yamaqlar toxudu və onları künclərində müxtəlif rəngli kvadratlar olan şahmat taxtası naxışına yığdı. Üst və alt yarımkürələri fərqli rəngli bir top da lazım idi. Şahmat şəbəkəsi rəngli küncləri bir-birinə yapışdırılmış topun ətrafında əyildikdə, kvadratlar arasında boşluq qalır. Bu, kvaziregular xəritələr ideyasını yekunlaşdırır: boşluqlar parçanı uzatmaqla bağlana bilər.

https://googleads.g.doubleclick.net/pagead/ads?client=ca-pub-0536483524803400&output=html&h=188&slotname=8188791252&adk=1687169288&adf=4054963813&pi=t.ma~as.8188791252&w=750&abgtt=6&fwrn=4&lmt=1742296305&rafmt=11&format=750×188&url=https%3A%2F%2Fphys.org%2Fnews%2F2025-03-mathematicians-year-problem-quasiregularly-elliptic.html&wgl=1&uach=WyJXaW5kb3dzIiwiMTkuMC4wIiwieDg2IiwiIiwiMTM0LjAuNjk5OC44OSIsbnVsbCwwLG51bGwsIjY0IixbWyJDaHJvbWl1bSIsIjEzNC4wLjY5OTguODkiXSxbIk5vdDpBLUJyYW5kIiwiMjQuMC4wLjAiXSxbIkdvb2dsZSBDaHJvbWUiLCIxMzQuMC42OTk4Ljg5Il1dLDBd&dt=1742296305014&bpp=1&bdt=60&idt=95&shv=r20250305&mjsv=m202503130101&ptt=9&saldr=aa&abxe=1&cookie=ID%3Df22668bce9793ae4%3AT%3D1735196613%3ART%3D1742296146%3AS%3DALNI_Mb4Xpwl1SO1AcvqroR6xccDm_sheQ&gpic=UID%3D00000f7c5320f40b%3AT%3D1735196613%3ART%3D1742296146%3AS%3DALNI_Mb1dz_DHiT2yDzXLMaB9CDkQl4XGg&eo_id_str=ID%3Dcdf7f2f01784f52d%3AT%3D1735196613%3ART%3D1742296146%3AS%3DAA-Afjb8kbeupLLyQ0QHQmZxpM4v&prev_fmts=0x0&nras=1&correlator=3203124818991&frm=20&pv=1&rplot=4&u_tz=240&u_his=3&u_h=1080&u_w=1920&u_ah=1032&u_aw=1920&u_cd=24&u_sd=1&dmc=8&adx=448&ady=1916&biw=1905&bih=945&scr_x=0&scr_y=0&eid=95344788%2C95354598%2C31090357&oid=2&pvsid=1834054566935712&tmod=294521279&uas=0&nvt=1&ref=https%3A%2F%2Fphys.org%2Fpage2.html&fc=1920&brdim=0%2C0%2C0%2C0%2C1920%2C0%2C1920%2C1032%2C1920%2C945&vis=1&rsz=%7C%7CpeEbr%7C&abl=CS&pfx=0&fu=128&bc=31&bz=1&td=1&tdf=2&psd=W251bGwsbnVsbCxudWxsLDNd&nt=1&ifi=2&uci=a!2&btvi=1&fsb=1&dtd=99

Riyaziyyatçı olmağın yolu

Ümumi orta məktəbdə Heikkilanın zehnində riyaziyyat üzrə karyera hələ aydın deyildi. Bununla belə, onun forma müəllimi, eyni zamanda riyaziyyat müəllimi, onun istedadını tanıdı və ona mövzunu öyrənməyə davam etməsini təklif etdi, Heikkilä Helsinki Universitetində Kumpula Kampusunda bitirdi.

Professor Pankka tərəfindən verilən topologiya kursunda təhsilinin ikinci ilində Heikkila həqiqətən riyaziyyatla maraqlanmağa başladı. Bu, başa çatmış məqalə ilə yekunlaşan əməkdaşlıq illərinə başladı.

Magistratura mərhələsində artıq aydın idi ki, Heikkila aspirantura təhsilini davam etdirmək niyyətindədir, buna görə də o, Pankkanın rəhbərliyi altında magistr dissertasiyasını yazmağa ürəyini qoymuşdu. Səy öz bəhrəsini verdi, çünki tezis demək olar ki, doktorluq dissertasiyası üçün ilk məqalə kimi istifadəyə hazır idi.

Heikkila-nın “Kvazirregular elliptik manifoldların məhdudlaşdırılmış kohomologiyası” adlı magistr dissertasiyası hər il Riyaziyyat və Təbiət Elmləri üzrə Akademik Assosiasiya-MAL və Finlandiya TEK həmkarlar ittifaqının Akademik Mühəndisləri və Memarları tərəfindən təqdim olunan magistr dissertasiyası mükafatını qazandı. Mükafat Finlandiya cəmiyyətində bu elmlərin əhəmiyyətini vurğulayaraq, riyaziyyat, fizika və kompüter elmlərinin öyrənilməsinə diqqəti cəlb edir .

Heikkilä deyir: “Dəstəkləyən bir rəhbərin və həmkarlarının olması tədqiqatı mənalı hiss etdirdi. Mən də həyat yoldaşımı eyni sahədə tapdım, baxmayaraq ki, axşam evdə riyaziyyatdan danışmırıq”.

2025-ci ilin əvvəlində Heikkila Jyväskyla Universitetində doktoranturadan sonrakı tədqiqatçı kimi işləməyə başladı və kvazregular xəritələr və əyrilər nəzəriyyəsini öyrənməyə davam etmək istədiyi üçün əlavə maliyyə üçün müraciət edir.

Gündəlik anlayışlar üçün Phys.org-a etibar edən 100.000-dən çox abunəçi ilə elm, texnologiya və kosmosda ən son yenilikləri kəşf edin . Pulsuz xəbər bülleteni üçün qeydiyyatdan keçin və mühüm nailiyyətlər, innovasiyalar və tədqiqatlar haqqında gündəlik və ya həftəlik yeniliklər əldə edin .Abunə ol

Kvaziregular elliptik problemlər

Kvazikonformal həndəsə sonsuz kiçik təhrifin cisimlərin formasına təsirini öyrənir. Kvaziregular xəritələr kvazikonformal həndəsədə əhatə edən sualları araşdırır. Belə sualların klassik nümunəsi vahidləşdirmə teoreminə əsaslanan aşağıdakı nəticədir: bütün kompleks müstəvidən qeyri-trivial holomorf xəritəni qəbul edən yeganə Rieman səthləri iki ölçülü sfera və iki ölçülü torusdur.

Xüsusilə, daha yüksək cinsin səthləri üçün belə xəritələr yoxdur. Bu teorem Puankare və Radonun 1900-cü illərin əvvəllərindən Riemann səthlərindəki işlərini izləyir. Bu gün bu nəticə Riemann səthləri üzrə dərsliklərdə əsaslardan biridir.

Xüsusilə maraqlı olan odur ki, ikiölçülü konformal xəritələrin bu nəticəsi, hətta tədqiq olunan konformallar əvəzinə kvaziregular xəritələr olsa belə, dəyişmir. Daha yüksək ölçülərdə konformal və kvazikonformal həndəsə köklü şəkildə fərqlənir. Martio, Rikman və Vayssalanın 1971-ci ildəki nəticəsinin 1968-ci il Zorix teoremi ilə birləşməsi göstərir ki, Evklid fəzasından konformal xəritəçəkmə olan daha yüksək ölçülərdə yeganə sadə əlaqəli Rieman manifoldları Evklid fəzasının özü və bərabər ölçülü sferadır.

Bunun əksinə olaraq, evklid fəzasından bir neçə fərqli fəzaya qədər kvazregular xəritələr tapıla bilər. Belə manifoldlar “kvaziregular elliptik” adlanır.

1981-ci ildə Qromov daha yüksək ölçülü qapalı, sadəcə birləşdirilmiş manifoldların olub olmadığını soruşdu. Əsasən, Qromov kvazregular elliptik manifoldlara homoloji maneənin olub-olmadığını soruşdu. Bu suala ilk qismən cavabı Bonk və Heinonen diferensial formaların de Rham kohomologiyasına əsaslanan yığcamlıq arqumentindən istifadə edərək verdilər.

https://googleads.g.doubleclick.net/pagead/ads?gdpr=0&us_privacy=1—&gpp_sid=-1&client=ca-pub-0536483524803400&output=html&h=188&slotname=8188791252&adk=1687169288&adf=3096487112&pi=t.ma~as.8188791252&w=750&abgtt=6&fwrn=4&lmt=1742296324&rafmt=11&format=750×188&url=https%3A%2F%2Fphys.org%2Fnews%2F2025-03-mathematicians-year-problem-quasiregularly-elliptic.html&wgl=1&uach=WyJXaW5kb3dzIiwiMTkuMC4wIiwieDg2IiwiIiwiMTM0LjAuNjk5OC44OSIsbnVsbCwwLG51bGwsIjY0IixbWyJDaHJvbWl1bSIsIjEzNC4wLjY5OTguODkiXSxbIk5vdDpBLUJyYW5kIiwiMjQuMC4wLjAiXSxbIkdvb2dsZSBDaHJvbWUiLCIxMzQuMC42OTk4Ljg5Il1dLDBd&dt=1742296305015&bpp=1&bdt=60&idt=131&shv=r20250305&mjsv=m202503130101&ptt=9&saldr=aa&abxe=1&cookie=ID%3Df22668bce9793ae4%3AT%3D1735196613%3ART%3D1742296146%3AS%3DALNI_Mb4Xpwl1SO1AcvqroR6xccDm_sheQ&gpic=UID%3D00000f7c5320f40b%3AT%3D1735196613%3ART%3D1742296146%3AS%3DALNI_Mb1dz_DHiT2yDzXLMaB9CDkQl4XGg&eo_id_str=ID%3Dcdf7f2f01784f52d%3AT%3D1735196613%3ART%3D1742296146%3AS%3DAA-Afjb8kbeupLLyQ0QHQmZxpM4v&prev_fmts=0x0%2C750x188&nras=1&correlator=3203124818991&frm=20&pv=1&rplot=4&u_tz=240&u_his=3&u_h=1080&u_w=1920&u_ah=1032&u_aw=1920&u_cd=24&u_sd=1&dmc=8&adx=448&ady=4471&biw=1905&bih=945&scr_x=0&scr_y=708&eid=95344788%2C95354598%2C31090357&oid=2&pvsid=1834054566935712&tmod=294521279&uas=3&nvt=1&ref=https%3A%2F%2Fphys.org%2Fpage2.html&fc=1920&brdim=0%2C0%2C0%2C0%2C1920%2C0%2C1920%2C1032%2C1920%2C945&vis=1&rsz=%7C%7CpeEbr%7C&abl=CS&pfx=0&fu=128&bc=31&bz=1&td=1&tdf=2&psd=W251bGwsbnVsbCxudWxsLDNd&nt=1&ifi=3&uci=a!3&btvi=2&fsb=1&dtd=19130

Eden Prywes 2019-cu ildə Qromovun sualına qəti şəkildə cavab verdi və nümayiş etdirdi ki, qapalı kvazregular elliptik n-manifoldun k-ci de Rham kohomologiyası ən çox n-torusun k-ci de Rham kohomologiyasıdır. Bu nəticə belə nəticəyə gətirib çıxarır ki, böyük de Rham kohomologiyasına malik qapalı manifoldlar kvaziregular elliptik ola bilməz.

“Heikkila ilə sübut etdiyimiz nəticə Qromovun sualına cəbri cavab verir. Evristik olaraq cavab belədir: qapalı manifoldun kvaziregular elliptik olması üçün onun submanifoldlarının kəsişmələri (homoloji terminlərlə) eyni vaxtda Evklid fəzasının xarici cəbrində həyata keçirilməlidir. qapalı n-manifoldun de Rham kohomologiyasından n-ölçülü Evklid fəzasının xarici cəbrinə qədər monomorfizm,” professor Pankka deyir.

Bu cəbri nəticə kvaziregular elliptik olmayan kiçik kohomologiyaya malik qapalı manifoldların olduğunu nümayiş etdirmək üçün istifadə edilə bilər. Bu nəticəni Pierqallini və Zuddas tərəfindən şaxələnmiş örtük təsvirlərinin qurulması, eləcə də Donaldson və Freedman tərəfindən qapalı 4-manifoldların təsnifatı ilə birləşdirərək, qapalı sadə birləşdirilmiş kvaziregular elliptik 4-manifoldların təsnifatını təqdim edir: onlar dəqiq olaraq iki və ya üç hissənin cəminin iki və ya üç 2-ə qədər bir-birinə bağlı cəmindən yaranan manifoldlardır. oriyentasiyalı proyektiv fəzalar. Bu, Seppo Rikmanın qapalı, sadə birləşmiş kvaziregular elliptik 4-manifoldlar üzərində başlatdığı tədqiqatı yekunlaşdırır.

Daha çox məlumat: Susanna Heikkilä et al, De Rham cəbrləri qapalı kvazregular elliptik manifoldların Euclidean, Annals of Mathematics (2025). DOI: 10.4007/annals.2025.201.2.3

Helsinki Universiteti tərəfindən təmin edilmişdir