Real həyatda demək olar ki, heç nə mükəmməl deyil. Lakin riyaziyyatda hər şey mükəmməl ola bilər. Alimlər dairələri və kürələri yüksək simmetriyalarına görə mükəmməl hesab edirlər ki, bu da dairəvi planetar orbitlər anlayışından imtina etməyin və astronom Yohannes Keplerin irəli sürdüyü elliptik orbitləri qəbul etməyin çətin olmasının səbəblərindən biridir. Əgər biz çoxbucaqlılara (üçölçülü çoxbucaqlılara) diqqət yetirsək, onlardan beşi mükəmməl olaraq seçilir və sözdə Platonik bərk cisimləri əmələ gətirir: tetraedr, kub, oktaedr, dodekaedr və ikosaedr.

Etiraf etmək lazımdır ki, onların adları xüsusi estetik cazibədarlıq yaratmır. Lakin formaları unikaldır. Platonik cisimlər mümkün olan ən yüksək simmetriyaya malik çoxüzlülərdir. Onların hər bir üzünün kənarları eyni saydadır və hər təpə nöqtəsində eyni sayda üz kəsişir.

Özümüzü yalnız dəlikləri və ya girintiləri olmayanlarla məhdudlaşdırdığımızı fərz etsək, yalnız beş çoxbucaqlı bu meyarlara cavab verir. Bunun səbəbi riyaziyyatdan ən sevdiyim kəmiyyətlərdən birindədir: Euler xarakteristikası. Bu, topologiyadan götürülmüş bir ölçüdür, obyektlərin əsas xüsusiyyətlərinə yönəlmiş mücərrəd riyazi alt sahədir. Xəmiri müxtəlif formalara qəlibləməyi təsəvvür edin. Əgər iki forma sadəcə yoğurmaqla, cırılmadan və ya yapışmadan bir-birinə çevrilə bilirsə, onda topoloqun nöqteyi-nəzərindən onlar eyni formadadırlar. Bu o deməkdir ki, baget və rulon eynidir, lakin simit və pretzel fərqlidir.

İlk topoloji ideyalar yalnız 18-ci əsrdə ortaya çıxsa da, Platon bərk cisimlərinin tarixi daha qədimlərə gedib çıxır. Qədim Yunanıstan alimləri – xüsusən də Platon adlandırıldığı kimi – onları geniş şəkildə araşdırdılar. Platon dörd əsas elementin (od, su, torpaq, hava) hər birinin Platon bərk cisimindən ibarət olduğunu fərz edirdi: tetraedrdən gələn od, təmasda ağrıya səbəb ola bilən uclu forma; oktaedrdən gələn hava, hissəcikləri çətinliklə hiss olunan qədər elastik bir forma; ikosahedrdən gələn su, əllərdən axa bilən maye forma; və kubdan gələn torpaq, hissəcikləri üçölçülü məkanı tamamilə doldura bilən və Yer kürəsini xüsusilə sabit edən qırıntılı bir forma. Digər tərəfdən, dodekaedr efir və ulduzlu səma ilə əlaqələndirilirdi. Həndəsi metodlardan istifadə edərək riyaziyyatçı və Platonun müasiri olan Teetet bu yüksək simmetrik cisimlərin beşdən çox olmadığını sübut etməyə müvəffəq oldu .

Təxminən 2000 il sonra Kepler bu beş cisimdən istifadə edərək məlum günəş sistemini izah etməyə çalışdı, lakin uğursuz oldu. Buna baxmayaraq, onun mülahizələri onu planetlərin orbitlərinin elliptik olduğuna dair sübut olunmuş nəticəyə gətirib çıxardı.

Platonik cismin cəmi beş olması qədim dövrlərdən bəri məlumdur, lakin 18-ci əsr İsveçrə riyaziyyatçısı Leonhard Eulerin müşahidəsi sayəsində bunu riyazi olaraq da sübut edə bilərik. Euler başa düşdü ki, dəliksiz çoxbucaqlının bütün təpələrini və üzlərini toplayıb kənarlarının sayını çıxsanız, həmişə iki alınır — həmişə!

Özünüz yoxlayın. Məsələn, kubun səkkiz təpəsi, altı üzü və 12 kənarı var, bu da 8 + 6 − 12 = 2 verir. Üçbucaqlı dodekaedrin səkkiz təpəsi, 12 üzü və 18 kənarı var, bu da 8 + 12 − 18 = 2 verir. Əgər bu əlaqə dəliksiz bütün çoxbucaqlılar üçün doğrudursa, ondan neçə Platonik bərk cismin olduğunu hesablamaq üçün istifadə etmək olar.

Bəs Eulerin çoxüzlü düsturu V − E + F = 2 nə üçün həmişə təpələr, V , kənarlar, E və üzlər, F üçün doğru olmalıdır ? Məlum olur ki, bu, topoloji invariantdır: cırılmadan və ya bir-birinə yapışmadan bir-birinə çevrilə bilən bütün bərk cisimlər üçün eyni olan bir kəmiyyət.

Euler düsturu yalnız beş Platonik bərk cismin olduğunu sübut edir. Bu simmetrik formaların hər biri eyni çoxbucaqlılardan ( n -bucaqlılar) ibarət olan üzlərdən ibarətdir, burada hər bir təpəsi tam olaraq m kənarla kəsişir . Bu xüsusiyyətləri hansı çoxbucaqlıların yerinə yetirə biləcəyini öyrənmək üçün Eulerin çoxbucaqlı düsturunu təmin edən bütün mümkün n və m natural ədədlərini axtarırıq .

Bunu etmək üçün əvvəlcə çoxüzlülüyün üzlərinin və təpələrinin sayını n və m ədədləri ilə ifadə etmək lazımdır . Əgər hər bir təpəni m kənar kəsirsə və hər kənar iki təpə ilə məhdudlaşırsa, onda m × V = 2 E olar . Eyni zamanda, bir kənar həmişə iki üz arasında sərhəd əmələ gətirir. Hər bir üz n kənardan ibarət olduğundan , buradan belə nəticə çıxır: n × F = 2 E.

Bu tapıntıları Eulerin çoxüzlü düsturuna yerləşdirdikdə, (2E)/m − E + (2E)/n = 2 alınır . Bu ifadə kəsrlər üçün ortaq məxrəc tapmaqla , hədləri birləşdirməklə və qarşılıqlı tənliyi götürməklə sadələşdirilə bilər: 2n – mn + ( 2m )/( 2mn ) = 1/ E .

Bir az daha sonra yenidən düzülüş 1/ m + 1/ n = 1/ E + 1/2 ifadəsini verir . 1/ E termini sadəcə sağ tərəfdəki dəyəri artırır, çünki o, həmişə müsbətdir, ona görə də n və m üçün aşağıdakı bərabərsizliyi nəzərdən keçirə bilərik : 1/ m + 1/ n > 1/2.

Buna görə də, Platon bərk cismi yaratmaq üçün n və m- in qarşılıqlı ədədlərinin cəmi 1/2-dən böyük olmalıdır. n və m natural ədədlər olduğundan və 3-dən böyük olmalıdır, əks halda çoxüzlü mümkün olmadığı nəzərə alınmaqla, bu, yalnız beş ehtimala imkan verir: (3,3), (3,4), (4,3), (3,5) və (5,3), bunlar beş Platon bərk cismi ilə uyğun gəlir.

Eulerin çoxüzlü düsturu sayəsində, Platonik bərk cismin tam beş olduğunu sübut edən qəti sübut tapdıq. Bu tənlik hər cür fiqur və fəza ölçülərinə tətbiq oluna bilən daha ümumi bir anlayışı təmsil edir. Məsələn, bir səthi üçbucaqlar şəbəkəsi ilə örtə və sonra V − E + F çoxüzlü düsturunu hesablaya bilərsiniz . Şəbəkənin altı və ya 600 üçbucaqdan ibarət olmasından asılı olmayaraq, nəticə həmişə eyni olacaq. Çoxüzlülərdə olduğu kimi, bir kürə üçün nəticə ikidir. Lakin simit kimi digər səthlər üçün dəyər sıfırdır.

Daha ümumi olan V − E + F = χ da topoloji invariantdır və bu xüsusiyyət topoloji baxımdan fərqli obyektləri bir-birindən fərqləndirir. Buna görə də, əgər χ iki fiqur üçün fərqlidirsə, onda onlar topoloji cəhətdən də fərqlidirlər. Adi ikiölçülü səthlər üçün V − E + F = 2 – 2 × L , burada L səthdəki dəliklərin sayıdır. Buna görə də, üç dəlikli pretzel üçün χ = -4.

Beləliklə, Euler tərəfindən təklif edilən düstur əvəzolunmaz riyazi alətə çevrilib. Onun köməyi ilə topoloqlar müxtəlif strukturları təsnif etmək üçün uyğun kəmiyyətlər tapmaq məqsədlərinə bir addım daha yaxınlaşırlar.

Bu məqalə əvvəlcə Spektrum der Wissenschaft -da dərc olunmuş və icazə ilə çoxaldılmışdır. Süni intellektin köməyi ilə orijinal alman versiyasından tərcümə edilmiş və redaktorlarımız tərəfindən nəzərdən keçirilmişdir .