Bu yaxınlarda FİFA Dünya Kuboku finalının həyəcanından milyonlarla insan ruhdan düşərkən, riyaziyyat icmasında fərqli bir həyəcan yaranırdı.

Süni intellekt (Sİ) şirkəti Anthropic-də çalışan riyaziyyatçı Levent Alpöge, X-də çox təsadüfi bir açıqlama verərək , cəbri həndəsə adlanan riyaziyyat sahəsində çox köhnə və tanınmış bir problem olan Yakobian fərziyyəsinə əks nümunə tapdığını bildirdi. O, bunu Anthropic-in cəmi bir neçə həftə əvvəl geniş ictimaiyyətə təqdim edilən böyük dil modeli Claude Fable 5-dən istifadə edərək etmişdi.

Bu, böyük dil modelləri ilə işləyən riyaziyyatçıların etdiyi bir çox təəccüblü riyazi irəliləyişlərdən yalnız sonuncusudur. Lakin bu, əvvəlkilərdən bir az fərqli hiss olunur.

Yakobian fərziyyəsi nədir?

Əvvəlcə, fərziyyə nədir? Bu, bəzi riyaziyyatçıların doğru hesab etdiyi, lakin heç kimin nə sübut edə, nə də təkzib edə bildiyi bir fikirdir.

İndi isə Yakobian fərziyyəsinə keçək. Bu, kifayət qədər mücərrəddir, lakin təsvir etmək o qədər də çətin deyil.

Bu fərziyyə, bir və ya daha çox ədədi müəyyən bir qayda və ya tənliyə uyğun olaraq digər ədədləri daxil edib çıxardığınız kiçik maşınlar kimi funksiyaları əhatə edir. Bu halda, funksiyalar polinom adlananlardan istifadə edir.

Xüsusilə, bu, xəritədəki koordinat kimi rəqəmlərin fəzadakı nöqtələri təmsil etdiyi vəziyyətlər haqqındadır. Beləliklə, təsəvvür edə bilərik ki, funksiya bəzi ədədləri götürüb digər bəzi ədədləri çıxardıqda, o, nöqtələri fəzada hərəkət etdirir.

Yakob determinantı adlanan bir şeyi hesablamaqla bir funksiyanın fəzada hər şeyi nə qədər “gözəl” hərəkət etdirdiyini yoxlaya bilərsiniz. Əgər Yakob determinantı həmişə sıfır olmayan sabit bir ədəddirsə, onda funksiya heç vaxt müəyyən bir nöqtə ətrafında fəzanı qatlamır və ya əzmir.

Yakob fərziyyəsinə görə, Yakob determinantı sıfırdan fərqli sabit olduqda, həmişə orijinalını tərsinə çevirən başqa bir funksiya, həmçinin polinomlardan ibarət olmalıdır. Bu, bütün nöqtələri başlanğıc mövqelərinə qaytaracaq.

Hər funksiya geri qaytarıla bilən deyil. Məsələn, başlanğıc funksiyamız orijinal nöqtələrdən ikisini tək bir nöqtəyə hərəkət etdirirsə, onu geri qaytara bilmərik. Nöqtələr birləşdirildikdən sonra onları düzgün mövqelərə qaytarmaq üçün ayırd edə bilmərik.

Uzun bir cəhd və uğursuzluq tarixi

Yakobian fərziyyəsinin ikiölçülü versiyası 1884-cü ildə çex riyaziyyatçısı Lüdviq Kraus tərəfindən ifadə edilmişdir. Bu fərziyyə 1939-cu ildə alman riyaziyyatçısı Ott-Heinrich Keller tərəfindən istənilən sayda ölçüyə ümumiləşdirilmişdir.

Bu, o qədər cəlbedici hesab olunurdu ki, Fields medalçısı Stephen Smale onu 1998-ci ildə “Növbəti Əsr üçün Riyazi Məsələlər” siyahısına daxil etdi .

Uzun tarixi ərzində Yakobian fərziyyəsi bir çox iddia edilən sübutların mövzusu olmuşdur , o cümlədən 20-ci əsrin iki məşhur riyaziyyatçısı olan Beniamino Seqre və Volfqanq Qröbner tərəfindən. Lakin hər bir halda arqumentləri etibarsız edən incə səhvlər aşkar edilmişdir.

Buna baxmayaraq, müxtəlif məhdudiyyətlərlə fərziyyənin doğru olduğunu göstərən bir sıra etibarlı səylər də göstərilmişdir. Hesablama nəticələri həmçinin 100 dərəcəsinə qədər polinomlar üçün (yəni 100-ə qədər dəyişənlərin dərəcələri daxil olmaqla) iki ölçüdə doğru olduğunu göstərmişdir.

Amma heç kim ümumi halı sübut etməmişdi və ya fərziyyənin səhv olduğunu göstərən bir nümunə tapmamışdı.

Aldadıcı dərəcədə sadə bir cavab

Yakobian fərziyyəsinin bu qədər maraqlı olmasının əsas səbəblərindən biri, nəzəri olaraq, əks nümunə tapmaq asan olmasıdır. Nöqtələri birləşdirən funksiyalara, eləcə də sabit Yakobian determinantına malik polinom uyğunlaşdırmalarına nümunələr tapmaq asandır.

Lakin, hər iki xüsusiyyətə malik polinom xəritələşdirməsini tapmaq çətin məsələdir. Həqiqətən də, Math Stack Exchange istifadəçilərindən birinin 2017-ci ildəki bir paylaşımında qeyd etdiyi kimi , “bildiyimiz hər şeyə baxmayaraq, bəzi ağıllı tələbələr bu fərziyyəyə əks-nümunə olacaq bir düstur yaza bilərlər […]”.

Həqiqətən də, bu, tək bir X yazısına sığacaq qədər qısa olan Alpögenin funksiyası üçün də belə oldu. O, sabit Yakobian determinantı -2 olan və birdən çox giriş nöqtəsini eyni çıxış nöqtəsinə daşıyan, buna görə də geri qaytarıla bilməyən üçölçülü bir funksiyaya nümunə tapdı.

Bu, fərziyyənin 2-dən böyük olan hər ölçü üçün yalan olduğunu, iki ölçüdəki orijinal fərziyyənin isə açıq qaldığını göstərir. Əks nümunənin qısalığı digər riyaziyyatçıların yoxlamasını asanlaşdırdı .

Böyüyən bir seriyada ən son irəliləyiş

Alpögenin kəşfi, böyük dil modelləri tərəfindən edilən bir sıra yüksək profilli riyazi irəliləyişlərin sonuncusudur. Son nümunələrə OpenAI-nin vahid məsafə fərziyyəsinin təkzib edilməsi və 23 yaşlı həvəskar riyaziyyatçı Liam Praysın Erdöşün 1196 məsələsinin sübutu daxildir.

Hər iki nümunə süni intellekt modellərinin ən təəccüblü güclü tərəflərindən birini göstərir. Onlar riyaziyyatın müxtəlif sahələrindən ideyalardan istifadə edərək, onları yeni bir şəkildə birləşdirərək heyrətamiz nəticələr əldə edə bilərlər.

Yazı hazırlanarkən, Alpögenin süni intellekt modelinin Yakobian fərziyyəsinə əks nümunə yaratmasına necə təkan verdiyi və nəticəsinin necə göründüyü barədə təfərrüatlar açıqlanmamışdır. Lakin, indiyə qədər bu nəticə fərqli bir təbiətə malikdir.

Süni intellektlə dəstəklənən bir çox digər son nailiyyətlərdən fərqli olaraq, əks nümunənin özü olduqca sadədir. Görünür, onu tapmaqda çətinlik mürəkkəb bir quruluşda və ya uzun bir sübutda deyil, əksinə, düzgün xüsusiyyətlərə malik birini tapmaq üçün mümkün polinom xəritələşdirmələrinin böyük bir axtarış sahəsində naviqasiya etməyin yaxşı bir yolunu tapmaqda idi.

Bu, süni intellektin gözlənilməz riyazi obyektləri kəşf etmək üçün sübutlar qurmaq qədər dəyərli ola biləcəyini göstərir. Bunun riyaziyyatın və insan riyaziyyatçılarının gələcəyi üçün nə demək olduğu hələ məlum deyil.